[백준] 6588번: 골드바흐의 추측 - C++

문제

1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.

백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.

각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)

입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

 

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어져 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러 가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 "Goldbach's conjecture is wrong."을 출력한다.

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넓은 범위 내의 소수를 판정할 수 있는 에라토스테네스의 체를 이용하여 풀 수 있는 문제.

앞서 설명하였던 에라토스테네스의 체(1929번 소수구하기)를 이용하여 [2, 1000000] 범위 안에 있는 소수를 미리 판별해놓고, 그 후 입력받은 해당 숫자가 소수의 합으로 나타낼 수 있는지 반복문을 통해 구하면 된다. 이 때, b - a의 값이 가장 커야하기 때문에 반복문의 범위는 i를 n부터 (n / 2)까지 1씩 감소시켜가며 구한다.

 

+) bool 자료형의 변수 flag를 통해 한 번이라도 소수의 합으로 나타낼 수 있을 경우 true를, 없는 경우 false의 값을 유지하여 최종적으로 모든 반복문을 돌았을 때 flag의 값이 false일 경우 골드바흐의 추측이 틀렸다고 출력시키도록 하였는데, 1000000까지의 정수 중 골드바흐의 추측이 틀리는 경우는 없기 때문에 사실 추측이 틀렸는지 추론하는 부분이 없어도 정답이 통과된다고 한다.

 

코드

#include <cstdio>
#include <vector>

using namespace std;

int main(void) {
    vector<int> prime(1000001, 0);
    prime[0] = prime[1] = -1;
    for(int i = 2; i * i <= 1000000; i++) {
        if(prime[i] == -1) continue;
        for(int j = 2 * i; j <= 1000000; j += i) {
            if(prime[j] == -1)  continue;
            else prime[j] = -1;
        }
    }

    int n;
    while(true) {
        bool flag = false;
        scanf("%d", &n);
        if(n == 0) break;

        for(int i = n; i >= (n / 2); i--) {
            if(prime[i] >= 0 && prime[n - i] >= 0) {
                printf("%d = %d + %d\n", n, n - i, i);
                flag = true;
                break;
            }
        }
        if(!flag) printf("Goldbach's conjecture is wrong.\n");
    }
    return 0;
}