[백준] 2193번: 이친수 - C++

문제

0과 1로만 이루어진 수를 이진수라 한다. 이러한 이진수 중 특별한 성질을 갖는 것들이 있는데, 이들을 이친수(pinary number)라 한다. 이친수는 다음의 성질을 만족한다.

 

1. 이친수는 0으로 시작하지 않는다.
2. 이친수에서는 1이 두 번 연속으로 나타나지 않는다. 즉, 11을 부분 문자열로 갖지 않는다.

예를 들면 1, 10, 100, 101, 1000, 1001 등이 이친수가 된다. 하지만 0010101이나 101101은 각각 1, 2번 규칙에 위배되므로 이친수가 아니다.

N(1 ≤ N ≤ 90)이 주어졌을 때, N자리 이친수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

첫째 줄에 N이 주어진다.

 

출력

첫째 줄에 N자리 이친수의 개수를 출력한다.

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DP를 이용하여 풀 수 있는 문제.

이친수는 0으로 시작하지 않으면서 1이 연속으로 두 자리 이상 나오지 않는 이진수를 의미한다. 첫 번째 경우부터 풀어쓰다보면 금방 규칙을 찾아낼 수 있는 문제라서, 어느정도 펼쳐놓고 정리를 해보면 다음과 같다.

 

N = 1 : { 1 }

N = 2 : { 10 }

N = 3 : { 100, 101 }

N = 4 : { 1000, 1001, 1010 }

N = 5 : { 10000, 10001, 10010, 10100, 10101 }

....

 

맨 앞 10을 제외하면 뒤의 숫자가 일정한 규칙을 가지고 반복되는 것을 볼 수 있다.

N = 4를 관찰하면 맨 앞 10 뒤에 N = 2일때의 이친수가 붙어 1010이 되는 경우와, N = 3일때 맨 앞자리인 1을 제외한 숫자(00, 01)이 붙어 각각 1000, 1001이 되는 경우를 볼 수 있다.

마찬가지로 N = 5를 관찰하면 맨 앞 10 뒤에 N = 3일때의 이친수가 붙어 10100, 10101이 되는 경우와, N = 4일때의 맨 앞자리를 제외한 숫자(000, 001, 010)이 붙어 10000, 10001, 10010이 되는 경우를 볼 수 있다.

이렇게 N번째의 이친수들은 (N - 1)번째와 (N - 2)번째 이친수들의 조합으로 만들어지는 규칙을 발견할 수 있다. 따라서 점화식은 다음과 같이 나온다.

 

D[N] = D[N - 1] + D[N - 2]

 

점화식을 보면 알겠지만, 역시 피보나치수열이다. 오버플로우를 막기 위해 자료형을 long long으로 선언해주는 것만 주의하면 된다. 문제는 Bottom-up 방식으로 풀었다.

 

코드

#include <cstdio>
#define MAX 91

long long DP(int num);

int main(void) {
    int num;
    scanf("%d", &num);
    printf("%lld\n", DP(num));
    return 0;
}

long long DP(int num) {
    long long Step[MAX] = { 0 };
    Step[1] = 1;

    for(int i = 2; i <= num; i++) {
        Step[i] = Step[i - 1] + Step[i - 2];
    }

    return Step[num];
}